Question

用数学归纳法证明： 1*3*5*……*(2n-1)*2^n=(n+1)(n+2)……(2n)（n属于自然数）

Answer 1

① 当n=1时，
左=1×2=2，
右=2，
等式成立。

② 设 当n=k时，等式也成立，即：
1×3×5……×（2k-1）×2ˆk=（k+1）×（k+2）…（2k）
则 当n=k+1
1×3×5……[2（k+1）-1]×2ˆ（k+1）
=1×3×5……（2k+1）×2^k×2
=1×3×5……（2k-1）×2^k×（2k+1）×2
=（k+1）×（k+2）…（2k）×（2k+1）×2
=（k+2）×（k+3）…（2k）×（2k+1）×（k+1）×2
=（k+1+1）(k+1+2)(k+1+3)……（k+1+k）2(k+1)
即 当n=k+1时等式也成立
由①、②可知猜想对任何n属于自然数都成立
即1*3*5*……*(2n-1)*2^n=(n+1)(n+2)……(2n))（n属于自然数）

追问

当n=k+1时不应该是：1×3×5……×（2k-1)×2^k×(2k+1）×2^k×2吗？

追答

1*3*5*……*(2n-1)*2^n中2^n项只有一项啊，你的怎么有两项
求n=k+1时，最后一项是[2（k+1）-1],不是2k-1

追问

k+1前不是还有一项k么？我重新列下式子：1×3×5……×（2k-1)×2^k×[2(k+1)-1]×2^(k+1)，哪里不对？

追答

你理解错了，首先：1*3*5*……*(2n-1)*2^n中2^n项只有一项啊，你的怎么有两项？？
k+1是还有一项k，但题目中是（2n-1），n前面还有系数2啊，即（2k+2-1)=2k+1,它的前一项是2k,整体都扩大2倍了，

追问

我还是纠结于为什么2^n项只有一项？

追答

最好的办法就是带入数值验证，
当n=1时，1*(2x1-1)*2^1=2
n=2时1*3*(2x2-1)*2^2=2*3*4
n=3，n=4.。。。。。
你看每个等式中的2^n都是只有一项
好费劲啊