Question

RT△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,斜边上的高h=¼c

求以cosA，cosB为两个根的一元二次方程。
九年级数学题，但这题答案很怪，我的结果是
图片发错了，应为

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Answer 1

题：RT△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,斜边上的高h=c/4，求以cosA，cosB为两个根的一元二次方程。

解：本题的知识点是直角三角形各边、角的几何性质和一元二次方程的根与系数的关系，

.要求有较熟练地三角函数运算能力。

如图，Rt△ABC中，斜边AB=c,斜边上的高CH=c/4,显然∠BCH=∠A；∠ACH=∠B,

为简化计算，设c=1，那么AC=cosA，AB=cosB，CH=ACcosB=cosAcosB=1/4…………①

因为cosB=sinA,那么（cosA+cosB)²=（cosA+sinA）²=cos²A+sin²A+2cosAsinA=1+2cosAcosB=1+2/4=3/2,

因为A和B是锐角，取3/2的算术根得 cosA+cosB=√(3/2)=√6/2…………②

所求的一元二次方程为x²-(√6/2)x+1/4=0

或者4x²-(2√6)x+1=0.。