Question

数列的排列组合问题

30个变量，每个变量取值（1,2,3,4,5）中的一个，最后计算（1,2,3,4,5）分别的数量，比如记录为7-5-5-9-4表示7个1，5个2……，4个5，请问有多少种组合？怎么算，通过哪种途径可以得到所有组合的列表？

Answer 1

我是这样思考的：
如果1，2，3，4，5每一个都必须取到，把30个变量看成30个1，30个1排成一列，中间形成了29个间隔，在这29个间隔中随意插入4块隔板，便把30个1分成了5份，每一份便代表这个变量出现了多少次，因此共有29C4=23751种组合。
如果不要求每一个都要取时，另作考虑如下：
当1,2,3,4,5中有一个数不用取时，相当于29个间隔中插入3块隔板，此时要分步，即
（29C3）*（5C1）=18270
有两个不用取时，类似方法，即（29C2）*(5C2)=4060
有三个不用取时，（29C1）*(5C3)=290
有四个不用取时，为5C4=5C1=5
5个全取时，29C4=23751
所以总数是23751+18270+4060+290+5=46376。

Answer 2

假设1,2,3,4,5的数目为a,b,c,d,e，等价于求解不定方程
a+b+c+d+e=30
非负整数解的个数。

一般地，对于不定方程
x1+x2+...+xn=m，非负整数解的个数是C(m+n-1,m)，一个简单的证明方法如下：
每一个数组(x1,..., xn)一一对应着数组(y1,y2,...,yn):
y1=x1+1,

y2 = x1+x2+2,
...
yn = x1+x2+...+xn+n = m+n
(y1,...,yn)只要满足1<=y1<...<yn=m+n
而数组(y1,...,yn)的个数相当于从1,2,...,m+n-1中取出n-1个数，从小到大排列就是y1,...,y(n-1)，加上yn=(m+n)，所以原方组解的个数是C(m+n-1,n-1)=C(m+n-1,m)

如果你想穷举，可以考虑如下的的方法：
a+b=n，解是(0,n),(1,n-1),....(n,0)
a+b+c=n，分c=0,1,2,...,n等情况讨论。当c=k时，a+b=n-k，上面已经列举出了所有情况。
由此得到4元、5元，。。。

如此层层递推，可保证不重不漏

追问

非常感谢！