Question

证明两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数

Answer 1

同济大学第七版《高等数学》第一章第一节习题第6（1）题解答。

Answer 2

1、巳知f(x)，g(x)都是偶函数，求证p(x)=f(x)+g(x)是偶函数
证明：因为：f(x)，g(x)都是偶函数
所以：f(-x)=f(x),g(-x)=g(x)
所以：p(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=p(x)
所以：p(x)是偶函数

2、巳知f(x)，g(x)都是奇函数，求证p(x)=f(x)+g(x)是奇函数
证明：因为：f(x)，g(x)都是奇函数
所以：f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)
所以：p(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+-g(x)=-p(x)
所以：p(x)是奇函数

Answer 3

设f（x）为奇函数，g(x)为奇函数;
则：f(x)=-f(-x),g(x)=-g(-x)
设F(x)=f(x)+g(x)
则-F(x)=-f(x)-g(x)=f(x)+g(x)=F(x)
所以两奇函数的和也是奇函数；
同理可证两偶函数的和也是偶函数

Answer 4

1、设f(x)，g(x)是偶函数，则F（X）=f(x)+g(x)，F（-X）=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F（X）
所以F（X）=F（-X），所以F（X）是偶函数
2、设f(x)，g(x)是奇函数，同理可证。

Answer 5

设f(x1)和f(x2)是偶函数，f(x3)和f(x4)是奇函数
那么根据性质可以得出结论：
f(-x1)=f(x1)
f(-x2)=f(x2)
f(-x3)=-f(x3)
f(-x4)=-f(x4)
所以f(-x1)+f(-x2)=f(x1)+f(x2) f(-x3)+f(-x4)=-f(x3)-f(x4)=-(f(x3)+f(x4)) 同时成立，故得出结论。