Question

求解一道关于曲线积分的高数题~谢谢！

求函数: F(x,y)=(-y,x)/(x^2+y^2) 沿路径 X(t) = (x(t), y(t)) = (2 + cos t, sin t), (0≤t≤2π)所做的功。会列式子，但不会怎么解求详解！谢谢！

Answer 1

(x(t), y(t)) = (2 + cos t, sin t),
x-2=cost
y=sint
(x-2)²＋y²=1
所以
是圆心在(2,0),半径为1的圆
从而
功=∫-y/(x^2+y^2)dx+x/(x^2+y^2)dy
P=-y/(x^2+y^2),Q=x/(x^2+y^2)
aP/ay=(y²-x²)/(x^2+y^2)²
aQ/ax=(y²-x²)/(x^2+y^2)²
即aP/ay=aQ/ax
(0≤t≤2π)曲线是整个圆，即封闭的，而且偏导数aP/ay，aQ/ax连续的
即
满足格林公式所有条件
从而
原式=0

追问

请问不用格林公式能解吗？

追答

可以，代入死做，估计很麻烦。