Question

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0.

高二数学题目，要详细的求证，越快越好

Answer 1

GilardinO的回答基本正确，但写到试卷上应该一分不得。
第一：不看题目ab≠0为大前提，竟然写出了“充分而不必要条件”这种结论
第二：不看题目求证内容的叙述，把充分性和必要性搞反了。这一点的结果就是不能得分。
正确解答如下：
必要性：
当a+b=1成立时
a^3+b^3+ab-a^2-b^2=(a+b-1)(a^2+b^2-ab)=0*(a^2+b^2-ab)=0
所以a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0成立
充分性：
当a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0成立时
由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=(a+b-1)(a^2+b^2-ab)=0
知a+b=1或a^2+b^2-ab=0
又由大前提ab≠0可知后面的式子不成立，所以a+b=1成立
综上述，在ab≠0的前提下，a+b=1的充要条件是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
原命题得证。

（建议分不清充分性和必要性的时候就写先证由a+b=1推出a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0，再证由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0推出a+b=1，然后写综上得证，这样不会被扣分。

Answer 2

充分性:当a+b=1时
a^3+b^3+ab-a^2-b^2=(a+b-1)(a^2+b^2-ab)=0*(a^2+b^2-ab)=0
必要性:a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
a^3+b^3+ab-a^2-b^2=(a+b-1)(a^2+b^2-ab)=0
有a+b=1或a^2+b^2-ab=0
后面成立得a=0,b=0所以推不出来
充分而不必要条件

Answer 3

^标次方`~?
是的话和楼上的差不多``
不过他很多步骤省略了...*.*