Question

求解近世代数一道题

设A,B为群G的有限子群,证明|A|·|B|=|AB|·|A∩B|

Answer 1

∵A∩B≤A，∴|A∩B|||A|。设n=|A|/|A∩B|
令A=a1(A∩B)∪...∪an(A∩B)为A关于其子群A∩B的左陪集分解
其中ai∈A，(ai)^(-1)aj∉A∩B，i≠j，i,j=1,2,3...n
∵(ai)^(-1)aj∈A，∴(ai)^(-1)aj∉B ..............①
而(A∩B)B=B，∴AB=[a1(A∩B)∪...∪an(A∩B)]B
=a1(A∩B)B∪...∪an(A∩B)B
=a1B∪...∪anB
若有x∈aiB∩ajB (i≠j)，则有bi,bj∈B使得
x=aibi=ajbj => (ai)^(-1)aj=bi(bj)^(-1)∈B，这与①矛盾
∴AB=a1B∪...∪anB是AB关于B的不相交的左陪集的并
∴|AB|=n|B|=|A|·|B|/|A∩B|
即|A|·|B|=|AB|·|A∩B|