什么叫不等式?

不等式哒概念是什么?... 不等式哒概念是什么? 展开
yunye3500
2008-07-12 · TA获得超过3884个赞
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不等式(inequality)
用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。例如2x+2y≥2xy,sinx≤1,ex>0 ,2x<3等 。根据解析式的分类也可对不等式分类,不等号两边的解析式都是代数式的不等式,称为代数不等式;只要有一边是超越式,就称为超越不等式。例如lg(1+x)>x是超越不等式。
通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )(其中不等号也可以为<,≥,> 中某一个),两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题。
不等式的最基本性质有:①如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;②如果x>y,y>z;那么x>z;③如果x>y,而z为任意实数,那么x+z>y+z;④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;⑤如果x>y,z<0,那么xz<yz。
由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式,其中比较有名的有:
柯西不等式:对于2n个任意实数x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,恒有(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≤(x12+x22+…+xn2)(y12+y22+…+yn2)。
排序不等式:对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn,y1≤y2≤…≤yn,设yi1,yi2,…,yin是后一组的任意一个排列,记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1,M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin,L=x1y1+x2y2+…+xnyn,那么恒有S≤M≤L。
根据不等式的基本性质,也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有:①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。②如果不等式F(x) < G(x)的定义域被解析式H( x )的定义域所包含,那么不等式 F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。③如果不等式F(x)<G(x) 的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H( x )G(x) 同解;如果H(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H (x)F(x)>H(x)G(x)同解。④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。
不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地,用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式,用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)
“≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式。

在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子,那它就是一个不等式.

如:甲大于乙(甲>乙),就是一个不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可证:A>C,A>D.所以,A最大.

不等式是不包括等号在内的式子比如:(不等号 大于等于号,小于等于号)只要用这些号放在式子里就是不等式咯..

1.符号:

不等式两边都乘以或除以一个负数,要改变不等号的方向。

2.确定解集:

比两个值都大,就比大的还大;

比两个值都小,就比小的还小;

比大的大,比小的小,无解;

比小的大,比大的小,有解在中间。

三个或三个以上不等式组成的不等式组,可以类推。

3.另外,也可以在数轴上确定解集:

把每个不等式的解集在数轴上表示出来,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。

1.不等式的基本性质:

性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).

性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).

性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.

性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.

性质7:如果a>等于b c>b 那么c大于等于a

例1:判断下列命题的真假,并说明理由.

若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)

若,则a>b;(真)

若a>b且ab<0,则;(假)

若a若,则a>b;(真)

若|a|b2;(充要条件)

命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.

a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)

说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.

例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.

说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想
几个重要不等式(二)柯西不等式

,当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号

柯西不等式的几种变形形式

1.设aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)则,当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号

2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n),则,当且仅当b1=b2=…=bn时取等

三、排序不等式

设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列,则有:

a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn

反序和£乱序和£同序和

例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小

解:取两组数a,b,c;a2,b2,c2,则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a

例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/,则有

证明:取两组数a1,a2,…,an;

其反序和为,原不等式的左边为乱序和,有

例3.已知a,b,cÎR+求证:

证明:不妨设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0



例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,求证:

证明:设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列,且b1<b2<…<bn-1;

c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1<c2<…<cn-1

则且b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1;c1£2,c2£3,…,cn-1£n

利用排序不等式有:

例5.设a,b,cÎR+,求证:

证明:不妨设a³b³c,则,a2³b2³c2>0

由排序不等式有:

两式相加得

又因为:a3³b3³c3>0,



两式相加得

例6.切比雪不等式:若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则

a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则

证明:由排序不等式有:

a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2

…………………………………………

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1

将以上式子相加得:

n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)


1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)
若,则a>b;(真)
若a>b且ab<0,则;(假)
若a若,则a>b;(真)
若|a|b2;(充要条件)
命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.
不等式分类:
柯西不等式
排序不等式
契比雪夫不等式
琴生不等式
均值不等式
年朗羊舌慧月
2019-09-03 · TA获得超过3851个赞
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左右两边不相等的式子,也可以简单理解为有大于号,小于号,大于等于号或小于等于号的式子
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丑鹏奕依云
2019-08-07 · TA获得超过3943个赞
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用不等号表示不等关系的式子叫不等式。
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令恬静9b
2008-07-12
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等式两边同时乘以一个数,等式成立,
等式两边同时除以一个数,等式成立,
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百度网友31745d1ba
2008-07-12
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用不等号将两个解析式连结起来所成的式子

参考资料: http://baike.baidu.com/view/344.htm

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