Question

求15道比较难的初二（上）数学题，附带答案

Answer 1

1.如果正整数n有以下性质:n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，n的二十五分之一是五次方数，那么n的最小值为_________答案：设n=2^a*3^b*5^c a能被3和5整除 被2除余1 a最小为15 b能被2和5整除 被3除余2 b最小为20 c能被2和3整除 被5除余2 c最小为12 所以n最小为2^15*3^20*5^12 n/8=(2^6*3^10*5^6)^2 n/9=(2^5*3^6*5^4)^3 n/25=(2^3*3^4*5^2)^5
2.设x1，x2，x3，...,x20是正整数,且x1<x2<...<x20，x1+x2+...+x20=1991，求x20的最小值答案：1+2+...+20=210，（1991-210）/20等于89余1，所以90+91+...+109＝1990，x20的最小值是110 3.设a,b是自然数,a+b=33,最小公倍数[a,b]=90,则最大公约数(a,b)=__________。　　A.1 　　　　　B.3 　　　　C.11 　　　　D.9
答：B　 设防(a,b)=x,则x整除a,b,a+b及[a,b],x是33和90的公约数,x=1或3。若x=1,则a不能被3整除,否则b也能被3整除,x≠1;故a,b都不能被3整除,[a,b]也不能被3整除,引出矛盾。故x=3,这时a=15,b=18适合题意。

4.(x,y)称为数对,其中x,y都是任意实数,定义数对的加法、乘法运算如下: 　　(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)
　　(x1,y1)·(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+y1x2)则___________不成立。
　　A.乘法交换律: (x1,y1)·(x2,y2)=(x2,y2)·(x1,y1)
　　B.乘法结合律: (x1,y1)·(x2,y2)·(x3,y3)=(x1,y1)·[(x2,y2),(x3,y3)]
　　C.乘法对加法的分配律:(x,y)·[(x1,y1)+(x2,y2)]=[(x,y)·(x1,y1))+((x,y)·(x2,y2)]
　　D.加法对乘法的分配律:(x,y)+[(x1,y1)·(x2,y2)]=[(x,y)+(x1,y1)]·[(x,y)+(x2,y2)]答：D 　易见乘法交换律成立。由((x1,y1)·(x2,y2))·(x3y3)=(x1x2-y1y2,x1y2+y1x2)·(x3,y3)=(x1x2x3-y1y2x3-x1y2y3-y1x2y3,x1x2y3-y1y2x3+x1y2x3+y1x2x3)=(x1,y1)·(x2x3-y2y3,x2y3+y2x3)=(x1,y1)·[(x2,y2)·(x3y3)],知乘法结合律成立。由(x,y)·[(x1,y1)+(x2,y2)]=(x,y)·(x1+x2,y1+y2)=[x(x1+x2)-y(y1+y2),x(y1+y2)+y(x1+x2)]
=(xx1-yy1,xy1+yx1)+(xx2-yy2,xy2+yx2)=[(x,y)·(x1,y1)]+[(x,y)·(x2,y2)],知乘法
对加法的分配律成立。由(1,0)+[(1,0)·(1,0)]=(1,0)+(1,0)=(2,0)≠(2,0)·(2,0)=
[(1,0)+(1,0)·((1,0)+(1,0))],知加法对乘法的分配律不成立。(注:把(x,y)看成复数x+yi,则本题定义的数对加、乘法就是复数的加、乘运算,易知A,B,C成立,D不成立)

5.　2.设|a|=1,b为整数,方程ax2-2x-b+5=0 有两负实数根,则b=_____________
因两负根之和=,故a=-1 ,b>5。方程判别式=4+4(5-b)≥0,故b≤6,由b为整数知b=6。
6.设实数x,y满足x2-2x|y|+y2-6x-4|y|+27=0,则y的取值范围是____________。.答：y≥1.8 或 y≤-1.8。原方程x2-(2|y|+6)x+(|y2|-4|y|+27)=0,判别式Δ=(2|y|+6)2-4(|y2|-4|y|+27)≥0,即
40|y|-72≥0,|y|≥1.8,y≥1.8 或 y≤-1.8。
7.设a,b,c是三个互不相等的正整数　求证：a3b－ab3,b3c�0�1－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除
　　　　　　　　　　　　　　（1986年全国初中数学联赛题）
分析：∵10＝2×5，只要证明三个数中，至少有一个含2和5质因数即可，
含2，可把a,b,c分为奇数和偶数两类；含5，则要按除以5的余数分类。
解：∵　a3b－ab3=ab(a+b)(a-b) , b3c�0�1－bc3=bc(b+c)(b-c),
ca3－ca3=ca(c+a)(c-a)　
① 不论a,b,c三个数中有1个是偶数，或3个都是奇数（奇±奇＝偶），三个代数式所表示的数都是偶数，即含有质因数2；
② ∵a,b,c除以5的余数只有0，1，2，3，4五种。
若有1个余数是0，则三个代数式所表示的数中必有1个含质数5；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　若有2个余数相同，则它们的差的个位数字是0，也含有质因数5；
若既没有同余数又没有余数0，那么在4个余数1，2，3，4中任取3个，必有2个的和是5，即a+b,b+c,c+a中有1个含质因数5。
　综上所述　a3b－ab3,b3c�0�1－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除。

8..已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC求证：AC＞BD
证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F
ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
AH＝ ，FH＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　
DE＝ ，BD＝
∴DE＞BD
即AC＞BD

9.ABC中，AB＝AC,过点A的直线MN∥BC，点P是MN上的任意点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求证：PB＋PC≥2AB　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
证明：　当点P在MN上与点A重合时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PB＋PC＝AB＋AC，即PB＋PC＝2AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　当P不与A重合时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作点C关于直线MN的对称点C，　　　　　　　　　　　　　　　　
则PC，＝PC，AC，＝AC＝AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠PAC，＝∠PAC＝∠ACB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠PAC，＋∠PAC＋∠BAC＝180 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴B，A，C，三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵PB＋PC，＞BC，，即PB＋PC＞2AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴PB＋PC≥2AB

10.已知：△ABC中，BD，CE是角平分线，AM⊥BD，AN⊥CE　求证：MN∥BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明：分别延长AM，AN交BC于F，G　　　　　　　　　　　
　则∠AMB＝∠BMF＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠1＝∠2，BM＝BM　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△AMB≌△FMB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AM＝MF　　　同理可证AN＝NG　　　　　　　　　　　　　　
∴MN是△AFG的中位线，　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴MN∥FG，即MN∥BC

11.1 n为某一自然数，代入n^3-n中计算其值，四个同学得出四个结果： A 388944 B 388945 C 388954 D 388948（注：此题不用网上的找个位方法，用分解因式。分解后为三个连续自然数的积，其中必有偶数和能被3整除的数。）答案;1. n^3-n=(n-1)*n*(n+1) 则n^3-n一定能被3整除 答案中只有A能被3整除（看各个数位的加和是不是3的倍数即可）

12. 证明：3^2002-4*3^2001+10*3^2000 能被7整除答案：3^2002-4*3^2001+10*3^2000 =3^2000*(3^2-4*3^1+10) =3^2000*(9-12+10) =3^2000*7 所以 3^2002-4*3^2001+10*3^2000 能被7整除

13. 待定系数法求解： （1）2x^3-x^2+m 有一个因式是 2x+1 ，求m的值。 （2）已知x^4+mx^3+nx-16有因式x-1和x-2，求m，n的值。答案：(1) 当2x+1=0 时 2x^3-x^2+m=0 则代入x=-1/2 得 2*(-1/2)^3-(-1/2)^2+m=0 解得 m=1/2 (2)同上题，分别将x=1和x=2代入得； 1+m+n-16=0 16+8m+2n-16=0 解得：m=-5 ,n=20

14.若直线y=-3x+m 和直线 y=2x-8 的交点在第二象限，求m的取值范围答案：不可能15. 已知关于x的不等式 (za-b)x+(a-5b)>0 ，的解集是 x<710 ，求不等式ax+b>0 的解集答案：2a-b<0,同时（5b-a）/(2a-b)=710,整理得b/a=1471/715,同时可知a,b同号，故a<0时，不等式ax+b>0 的解集为x<-b/a=-1471/715,a>0时，x>-1471/715

15.若a≥0，且a、b满足3倍根号a+5倍b的绝对值=7,c=2倍根号a-3倍b的绝对值，求c的取值范围。
答案：a.b满足3倍的根号a加5倍的绝对值b等于7则根号a=1/3（7-5倍的绝对值b）
c=2*根号a-3*绝对值b=2/3（7-5*绝对值b）-3绝对值b=14/3-19/3绝对值b
绝对值b≥0
又3根号a+5绝对值b=7 得绝对值b=1/5（7-3根号a）≤7/5
则-21/5≤c≤-5/3