Question

一个函数的导函数是否存在第一类间断点？

Answer 1

导函数不存在第一类间断点是在其定义域上说的，就是说导函数在它的间断点处是有定义的（也就是原函数在这点是存在导数的），那么这点不可能是导函数的第一类间断点，理由是这样的，如果导函数在该点处有定义（原函数在该点可导），而导函数在该点左右极限都存在但不相等，那么原函数在该点处存在左导数和右导数，分别等于导函数在该处的左极限和可极限，但由于这两个极限不相等，所以原函数在该点处的左导数和右导数不相等，这与导函数在该点有定义（原函数在该点存在导数）矛盾，所以如果导函数在该点存在左右极限且不相等，则导函数在该点处没有定义（原函数在这点不可导，因为左导数和右导数不等），如果要求导函数在该点处有定义（原函数在该点处可导）的话，则导函数在该点处的两上极限要么相等，要么至少有一个不存在。