Question

高一数学。第十五题。求详细过程，可以用网上的答案

Answer 1

1) f(x)为奇函数

证明：
∵ 定义在R上的函数f(x)满足对任意的x，y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)
∴ f(x+0)=f(x)+f(0) → f(x)=f(x)+f(0) → f(0)=0
∵ 已经求得：f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(-x)+f(-x)=0
0=f(x)+f(-x)
∴ f(-x)=-f(x)
∴ f(x)为奇函数；

2设x1＜x2
x2-x1＞0
f(x2-x1)＞0
设x=x2-x1 y=x1带入
f((x2-x1)-x1)=f(x2-x1)+f(x1)
f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)＞0
∴f(x2)＞（fx1）
所以函数在R上递增又因为x大于-y，所以此函数f（x）在（0，正无穷大）区间为增函数。
因为f(x)奇函数 所以f(x)在R上单调递增
令x=0, y=0得：
f(0)=2*f(0) => f(0) = 0
由
f（k·3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0
f（k·3^x）<-f（3^x-9^x-2）
因为奇函数 增函数
所以k·3^x<-3^x+9^x+2
k·3^x+3^x-9^x-2<0
因为f(x)为增函数,令 u = 3^x得
k*u + u - u^2 -2 < 0
u^2 - (1+k)*u + 2 > 0 对于任意x, u=3^x > 0恒成立
可知 u^2 - (1+k)*u + 2 的图像开口向上，只要对称轴小于0，或者判别式小于0即可，
满足条件的：
1+k < 0 => k<-1
或
(1+k)^2 - 8 < 0
-1-开方(8) < k < -1 + 开方(8)
上面2个条件区并集,得
k < -1 + 开方(8)

Answer 2

1. 因为f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0,则有飞（0）=f(0)+f(0,),所以f(0)=0,又令y=-x,,则有f(0)=f(x)+f(-x)=0,即飞（x）=-f(-x),由于f(x)是在R上的函数，所以f(x)为奇函数。_

2. 因为x大于0时，f(x)大于0，而f(x)是奇函数，所以，当x小雨0时，f(x)小于0，所以原不等式等价与k3^(3^x-9^x-2)＜0对x属于R恒成立，又令3^x=t,则t>0,而t-t^2-2<0恒成立，所以只需k>0即可。