Question

数学导数题，要详解！

已知f（x）=x³-2x+1，g（x）=ln x，问是否存在实数k和m，使得当x＞0时，f（x）≥kx+m且g（x）≤kx+m？存在请求出k和m，不存在请说明理由

Answer 1

步骤如下：

1. 证明f(x)>=g(x) (x>0).

   显然，f(x)与g(x)有交点：x=1,    f(1)=g(1)=0.

2. 求f(x)或g(x)在x=1处的导数，为1.

3. 求过(1,0)且斜率为1的直线，得：y=x-1.

4. k=1, m=-1满足条件.

Answer 2

已知f(x)=x³-2x+1，g(x)=ln x，问是否存在实数k和m，使得当x＞0时，f(x)≥kx+m且g(x)≤kx+m？
存在请求出k和m，不存在请说明理由

解：这种问题最好是数形结合的办法求解。
先研究f(x)=x³-2x+1的图像。
令f '(x)=3x²-2=0，得驻点x₁=-√(2/3)；x₂=√(2/3)；x₁是极大点(因为只考虑x>0，故不用管它)；x₂是极
小点。f(0)=1；minf(x)=f(√(2/3))=(2/3)^(3/2)-2√(2/3)+1=0.54433-1.6330+1=-0.08867；f(1)=0；
f(2)=8-4+1=5；f(3)=27-6+1=22.(注：√(2/3)=0.8165)。
将点(0，1)；(0.8165，-008867)；(1，0)；(2，5)；(3，22)标在坐标上，然后连成光滑的曲线。
g(x)=lnx是对数曲线，很好画。f(x)与g(x)在点(1，0)处相切。下面我们求这条公切线。
令f '(x)=g'(x)，得3x²-2=1/x；显然x=1是此方程的一个解。即当x=1时f '(1)=g'(1)=1；于是它们过(1，0)
的公切线方程为y=x-1；画出此切线，就会发现：曲线f(x)=x³-2x+1全部都在此切线的上方；而曲线
g(x)=lnx全部都在此切线的下方。因此y=x-1就是所要求的直线y=kx+m，故k=1，m=-1为所求。
也就是当x>0时不等式f(x)≥x-1≥g(x)恒成立。(我的画图软件坏了，请你自己画图。)