Question

高中 圆的方程

已知x^2+y^2=9的圆心为P，点 Q（a,b)在圆P外，以PQ为直径做圆M与圆P相交于A、B两点
（1）试确定直线QA,QB与圆P的位置关系，
（2）若QA=QB=4，试问点Q在什么曲线上运动？
（3）若a=-2,b=-3,求直线AB的方程。

Answer 1

（1）连接 AP、AQ 。因为 A 是两圆的交点，因此 A 在圆 M 上，

所以 QA丄PA ，

所以 QA 是圆 P 的切线，同理 QB 也是圆 P 的切线。

（2）QA=4 ，则 QA^2=16 ，

由勾股定理得 PQ^2-PA^2=QA^2=16 ，

所以 PQ^2=16+PA^2=16+9=25 ，则 PQ=5 ，

因此 Q 在以 P 为圆心，5 为半径的圆上运动。

（3）P（0，0），Q（-2，-3）的中点为 M（-1，-3/2），且 PM^2=1/4*PQ^2=(4+9)/4=13/4 ，

因此圆 M 的方程为 (x+1)^2+(y+3/2)^2=13/4 ，

与圆 P 的方程 x^2+y^2=9 相减得 (x+1)^2+(y+3/2)^2-x^2-y^2=13/4-9 ，

化简得 2x+3y+9=0 ，这就是直线 AB 的方程 。

Answer 2