如图，在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点。求证:1.△PAB∽△PCA 2.∠APB+PBA=45度
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∵ A ,B,C,D点在边长为1的正方形网格上，
∴ AB = √10
AP = √5
AC = √2
PC = 1
BC = 4
BP = 5
AP ：BP = √5 ：5
AC ：AB = √2 ：√10
PC ：AP = 1 ：√5
∵ ∠ APC= ∠BPA
∴ △PAB∽△PCA
∴ ∠ PAC= ∠PBA
∵ ∠ ACB= 45°
根据三角形外角和定理△PCA 的外角∠ ACB =45° = ∠ PAC + ∠ APC
∴ ∠ APC+ ∠PBA = 45°
即∠ APB +∠PBA = 45°
∴ AB = √10
AP = √5
AC = √2
PC = 1
BC = 4
BP = 5
AP ：BP = √5 ：5
AC ：AB = √2 ：√10
PC ：AP = 1 ：√5
∵ ∠ APC= ∠BPA
∴ △PAB∽△PCA
∴ ∠ PAC= ∠PBA
∵ ∠ ACB= 45°
根据三角形外角和定理△PCA 的外角∠ ACB =45° = ∠ PAC + ∠ APC
∴ ∠ APC+ ∠PBA = 45°
即∠ APB +∠PBA = 45°
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