Question

高等数学极限题目求解

题目上图所示 求解答 或思路

Answer 1

上下同除n^b
得到
n^(a-b)/[1-(1-1/n)^b]
分母趋于0，所以分子也应该趋于0，所以a-b<0
0/0不定型
洛必达一次
(a-b)n^(a-b-1)/[b(1-1/n)^(b-1)*(1/n^2)]
=[(a-b)/b]n^(a-b+1)/(1-1/n)^(b-1)
分母趋于1，所以分子也应该是趋于常数，所以a-b+1=0
然后因为极限是2012
(a-b)/b=2012
所以-1/b=2012
b=-1/2012
代入a-b+1=0
a=-2013/2012

追问

非常感谢解答 但是结果又问题
主要是因为在洛必达一次之后分母上少了一个负号
不过解题过程很赞
结果应该是a=-2011/2012 b=1/2012
继续追问 有一个思路
首先写出数列对应的函数
然后对(x-1)^b在x0=0处进行泰勒展开
得到一个最高次为x^b的和式以及一个佩亚诺型余量
我做了一下 可以得到相同的结果
但是不知道是这样解是否有漏洞
比如 能不能由数列极限推知对应的函数的极限
望指正

追答

泰勒展开不够好吧，加减的时候不太严格。洛必达吧还是

Answer 2

分母第二项按二项式展开，合并后分子分母同除以n的最高次幂，立得结果。

追问

在二项式展开中 一般来说幂的取值都是整数（做级数展开或泰勒展开时也有这种问题） 那么我们在不知道幂的情况下（比如题中的幂就是用a,b表示的）能否直接展开呢 或者如何展开呢？

Answer 3

追问

这个等式能否详细解释一下

追答