Question

大一数学极限题

每一步后面写上为什么这么做，还有为什么加法或减法不能用等价无穷小。别用洛必达，刚学完极限看不懂。

Answer 1

1、
解：
当x→∞时，sin(1/x) + cos(3/√x)→1; 指数2x→∞，因此该极限为1^∞ 型极限，应按照该类型极限的求解思路，先将底数中分解出1+0(x)的形式,其中0(x)是一个关于x的函数，满足(x→0) 时0(x)的极限为0，然后将极限化为lim (1+0(x))^[(1/0(x) *f(x)]形式，进一步化为lim {(1+0(x))^[1/0(x)]}^f(x)的形式，根据重要极限(x→0)lim (1+x)^(1/x) =e, 原极限化为(x→0)lime^f(x)的形式，再求解
f(x)的极限就可以解出整体极限值了。

当x→∞时，1/x →0，令y=1/x，原式化为：
原式= (y→0)lim[ sin(y)+cos(3√y)]^(2/y)
= (y→0)lim[ sin(y)+cos(3√y)]^(2/y)
= (y→0)lim[1+( sin(y)+cos(3√y)-1)]^(2/y) //下一步化为(x→0)lim (1+x)^(1/x)形式
= (y→0)lim[1+( sin(y)+cos(3√y)-1)]^[(1/( sin(y)+cos(3√y)-1))*(2( sin(y)+cos(3√y)-1)/y)
= (y→0)lim{[1+( sin(y)+cos(3√y)-1)]^[1/( sin(y)+cos(3√y)-1)]}^[2siny/y -2(1-cos(3√y))/y]
利用半角公式：1-cos2x = 2sin²x, 有
2(1-cos(3√y))/y = 4 sin²(3√y/2)/y = 4[sin(3/2*√y)/( 3/2*√y)]² *9/4
= 9[sin(3/2*√y)/( 3/2*√y)]²
因此，原式= (y→0)lim[ sin(y)+cos(3√y)]^(2/y)
= (y→0)lim[ sin(y)+cos(3√y)]^(2/y)
= (y→0)lim[1+( sin(y)+cos(3√y)-1)]^(2/y) //下一步化为(x→0)lim (1+x)^(1/x)形式
= (y→0)lim[1+( sin(y)+cos(3√y)-1)]^[(1/( sin(y)+cos(3√y)-1))*(2( sin(y)+cos(3√y)-1)/y)
= (y→0)lim{[1+( sin(y)+cos(3√y)-1)]^[1/( sin(y)+cos(3√y)-1)]}^{2siny/y -9[sin(3/2*√y)/( 3/2*√y)]²}
= e^(2-9) = e^(-7)

2、
思路同1，先化为1^∞的标准形式(x→0)lim (1+x)^[(1/x)*f(x)]形式，再求解指数部分的极限
原式= (x→0)lim[1+(a^x+b^x+c^x-3)/3]^(1/x)
= (x→0)lim[1+(a^x+b^x+c^x-3)/3]^ [3/(a^x+b^x+c^x-3) * (a^x+b^x+c^x-3)/(3x)]
= (x→0)lim{[1+(a^x+b^x+c^x-3)/3]^ [3/(a^x+b^x+c^x-3)]}^[(a^x+b^x+c^x-3)/(3x)]
= (x→0)lim e^{1/3* [(a^x-1)/(3x)+(b^x-1)/(3x)+(c^x-1)/(3x)]}
由于 (x→0)lim(a^x-1)/x = (x→0)lim[e^(x*lna)-1)]/x
我们知道 x→0时，e^x -1 的等价无穷小为x，因此e^(x*lna)-1等价无穷小为x*lna
因此(x→0)lim(a^x-1)/x = (x→0)lim[e^(x*lna)-1)]/x
= (x→0)lim[e^(x*lna)-1)]/(x*lna) *lna = lna
原式 = (x→0)lim e^{1/3* [(a^x-1)/(3x)+(b^x-1)/(3x)+(c^x-1)/(3x)]}
= e^[1/3 *(lna+lnb+lnc)] = ∛(abc)

Answer 2

这哪找的呀，貌似不简单

追问

同济的教材上的