Question

【已知关于x的方程x^2+bx+a=0和x^2+ax+b=0(a≠b)有一个相同的实数根．】．．．

已知关于x的方程x^2+bx+a=0和x^2+ax+b=0(a≠b)有一个相同的实数根．
1求这个相同的实数根
2确定a,b应满足的条件

Answer 1

1.不妨设方程x^2+bx+a=0的两实数根为x0，x1；
方程x^2+ax+b=0两实数根为x0，x2；
则由韦达定理有
x0+x1=-b,x0*x1=a;
x0+x2=-a,x0*x2=b;联立四个方程组，易解得
x0=1,x1=a,x2=b;
所以x0+x1=1+a=-b,得a+b=-1.........(1)
2.方程x^2+bx+a=0及x^2+ax+b=0均有两个实数根，且易知其各自两根必不相等，故满足
b^2-4a>0
a^2-4b>0
两式相加得a^2+b^2-4*(a+b)>0,即
(a+b)^2-2ab-4*(a+b)>0.............(2)
将(1)式代入（2）得5-2ab>0,得ab<5/2......(3)
故a、b满足a+b=-1且ab<5/2