Question

证明定义在对称区间（-a,a)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

配上适当的文字说明。

Answer 1

设所定义的函数是:f(x),是一个任意函数,在(-a,a)是连续的.那么:有以下表达式：f(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]。

很明显,上式是成立的,因为计算出来后两边是相等的。现在我们来分析这个式子，可以看出,式子中加号以前的部分即:1/2*[f(x)+f(-x)]是一个偶函数,因为代入-x后和原式是相等的。同样,加号以后的部分是一个奇函数,代入-x后即可以看出。

所以对于任意一个定义在(-a,a)区间上的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。

事实上,只要函数在定义域是关于0对称的,那么上式一定成立。

性质

1. 两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3. 两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

Answer 2

证明：设任意一函数f(x),
则，有f(x)=(1/2)[f(x)-(f-x)]+(1/2)[f(x)+f(-x)]
设g(x)=(1/2)[f(x)-(f-x)],h(x)=(1/2)[f(x)+f(-x)]
则f(x)=g(x)+h(x)
下面证明g(x)是奇函数，h(x)是偶函数
①g(-x)=(1/2)[f(-x)-f(x)]=-(1/2)[f(x)-(f-x)]=-g(x)
即：g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数
②h(-x)=(1/2)[f(-x)+f(x)]=h(x)
即：h(-x)=h(x),所以h(x)是偶函数
综上：定义为R的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和

Answer 3

f(x) = 1/2*f(x) + 1/2*f(x) 把函数劈成两半 = 1/2*f(x) + 1/2*f(x) + 1/2 * f(-x) - 1/2 * f(-x) 加一项再减一项，和原函数仍然相等 = 1/2*f(x) - 1/2 * f(-x) + 1/2*f(x) + 1/2 * f(-x) 加法交换率 = 1/2 * [f(x)-f(-x)] + 1/2 * [f(x)+f(-x)] 分配率设g(x) = 1/2 * [f(x)-f(-x)] ，则g(-x) = 1/2[f(-x)-f(x)]=-g(x), g(x)是奇函数 设h(x) = 1/2 * [f(x)+f(-x)] ，则h(-x) = 1/2[f(-x)+f(x)]=h(x), h(x)是偶函数 f(x) = g(x) + h(x), 得证

Answer 4

{(f(x)+f(-x))+(f(x)-f(-x))}/2其中第一个括号里的是个偶函数，第二个是奇函数