Question

已知圆C,x^2+y^2=2 ,点P(-1,2) ,过P 点作圆 的切线PAPB

Answer 1

解：(1).设过P(1，-2)的切线方程为y=k(x-1)-2，即kx-y-k-2=0；
由圆心(0，0)到切线的距离=∣-k-2∣/√(1+k²)=√2，
即有k²+4k+4=2(1+k²)；k²-4k-2=0，故k=(4±√24)/2=2±√6
于是得切线方程为y=(2+√6)(x-1)-2=(2+√6)x-4-√6；或y=(2-√6)(x-1)-2=(2-√6)x-4+√6.
(2)。切线长L=√[(OP)²-R²]=√(5-2)=√3.
(3)。设切点A的坐标为(m，n)，A在圆上，故有m²+n²-2=0...........(1)
切线长∣PA∣=L=√3，故有等式：(m-1)²+(n+2)²=3；
展开化简得m²+n²-2m+4n+2=0............(2)
(1)-(2)得2m-4n-4=0，即有m-2n-2=0，故m=2n+2，代入(1)式得(2n+2)²+n²-2=5n²+8n+2=0
故n=(-8+√24)/10=(-4+√6)/5；m=2(-4+√6)/5+2=(2+2√6)/5；即A((2+2√6)/5，(-4+√6)/5)；
OP的斜率KOP=-2，AB⊥OP ，故AB所在直线的斜率KAB=1/2.
于是得AB所在直线的方程为y=(1/2)[x-(2+2√6)/5]+(-4+√6)/5)=(1/2)x-1