Question

分块矩阵的行列式是否＝拉普拉斯展开？

Answer 1

严格来说，分块矩阵的行列式与拉普拉斯展开并不相等， 但是拉普拉斯展开可以认为是分块矩阵的行列式展开的特例。 二者之间相差(-1)^(m*n)

设两方阵A(n*n),B(m*m)在副对角线上， 通过矩阵的列变换将A,B移到主对角线上，然后用拉普拉斯展开。
A的第一列列变换m次， A的第二列列变换也是m次，依此类推， A的第n列的列变换也是m次，
可以得知列变换共进行了m*n次，
列变换完成后，B已经移到主对角线上了，所以要乘(-1)^(m*n)

扩展资料

拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n阶矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的 n个元素的 余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。

拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。

参考资料百度百科-拉普拉斯展开

Answer 2

分块矩阵的行列式展开≠拉普拉斯展开， 但拉普拉斯展开可以认为是分块矩阵的行列式展开的特例。 应该是(-1)^(m*n)，而不是(-1)^(m+n) (以下说明可以意会，不够严密） 两方阵A(n*n),B(m*m)在副对角线上， 通过列变换将A,B移到主对角线上，然后用拉普拉斯展开。 A从副对角线位置移到主对角线位置后， A的第一列(包括O第一列，在整个行列式中是第m+1列)仍在第一列，列变换m次， A的第二列(包括O第二列，在整个行列式中是第m+2列)仍在第二列，列变换也是m次， ……， A的第n列(包括O第n列，在整个行列式中是第m+n列，也是最后一列)仍在第n列，列变换也是m次， 这样列变换共进行了n个m次，即m*n次，

Answer 3