Question

相似三角形面积旳比等于对应高的比的平方吗?为什么？

Answer 1

是的

设 △ABC∽△A’B’C’
AB∶A’B’=BC∶B’C’=CA∶C’A’=k
设 AB边上的高为h，A’B’边上的高为h’
可以证明 h∶h’=k （证明很简单，从略。）

△ABC的面积∶△A’B’C’的面积
=1/2ABh∶1/2A’B’h’
={（k*A’B’）*（k*h’）}∶（A’B’*h’）
=k*k

现在来证明正题

设有两个相似多边形
多边形-ABC…PQ 和 多边形-A’B’C’…P’Q’
对应边之比为k
在这两个多边形中，以某个对应顶点（例如A和A’）向其他顶点作对角线，把每个多边形各自分成n个三角形。（n＝多边形的边数－2）
△1，△2，△3，…△n
△1’，△2’，△3’，…△n’
一一对应。
可以证明对应的三角形是相似三角形，其对应边之比就是多边形对应边之比k，对应三角形面积之比就是k*k，即
△1∶△1’=△2∶△2’=△3∶△3’=…=△n∶△n’=k*k
（△后面省去了“的面积”三个字）

根据比例性质
若 a∶b=c∶d=e∶f=…=m
则 （a+c+e+…）∶（b+d+f+…）=m

我们得出
（△1+△2+△3+…+△n）∶（△1’+△2’+△3’+…+△n’）=k*k

上面的比例式中，前项就是 多边形-ABC…PQ的面积
而后项是 多边形-A’B’C’…P’Q’的面积。
证明完毕。

（说明：上面各式中，用k*k表示k的平方。）

追问

谢谢咯！

追答

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