已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别是F1,F2,
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2013-10-13
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解:(1)假设存在点P(x0,y0)满足题中条件.
∵双曲线的一条渐近线为y=3x,∴ba=3,b=3a,∴b2=3a2,c2-a2=3a2,e=ca=2.
由|PF 1|d=2得,
|PF2|=2|PF1|①
∵双曲线的两准线方程为x=±a2c,
∴|PF1|=|2x0+2a2c|=|2x0+a|,|PF2|=|2x0-a2c|=|2x0-a|.
∵点P在双曲线的左支上,
∴|PF1|=-(a+ex0),|PF2|=a-ex0,代入①得:a-ex0=-2(a+ex0),
∴x0=-3a2,代入双曲线方程得y0=±15a2.
∴存在点P使d、|PF1|、|PF2|成等比数列,点P的坐标是(-3a2,±15a2).
(2)|PF1|=ed,
∵d,|PF1|,|PF2|成等比数列
∴(ed)2=ed2+2ad 由(1)得x1=(a+c)a 2ac-c2,将e=ca和P的坐标代入..
因为x1≤-a.整理可得 a2+2ac-c2≥0
两边同除c2.得e2-2e-1≤0.所以1-2<e<2+1
∵e>1
∴e∈(1,1+2)
∵双曲线的一条渐近线为y=3x,∴ba=3,b=3a,∴b2=3a2,c2-a2=3a2,e=ca=2.
由|PF 1|d=2得,
|PF2|=2|PF1|①
∵双曲线的两准线方程为x=±a2c,
∴|PF1|=|2x0+2a2c|=|2x0+a|,|PF2|=|2x0-a2c|=|2x0-a|.
∵点P在双曲线的左支上,
∴|PF1|=-(a+ex0),|PF2|=a-ex0,代入①得:a-ex0=-2(a+ex0),
∴x0=-3a2,代入双曲线方程得y0=±15a2.
∴存在点P使d、|PF1|、|PF2|成等比数列,点P的坐标是(-3a2,±15a2).
(2)|PF1|=ed,
∵d,|PF1|,|PF2|成等比数列
∴(ed)2=ed2+2ad 由(1)得x1=(a+c)a 2ac-c2,将e=ca和P的坐标代入..
因为x1≤-a.整理可得 a2+2ac-c2≥0
两边同除c2.得e2-2e-1≤0.所以1-2<e<2+1
∵e>1
∴e∈(1,1+2)
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