Question

如图在△ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点且∠EDF+∠BAF=180°. (1)求证：DE=DF

(2)若把最后一个条件改为AE＞AF，且∠AED＋∠AFD=180º，那么结论还成立吗？

Answer 1

从D点分别向AB、AC作垂线，交点为M、N。
∵DN⊥AC，AD平分∠BAC
∴DM=DN
又∵∠EDF+∠BAC=180
∴∠DEA+∠DFA=180
又∵∠DEA+∠DEB=180
∴∠DFA=∠DEB
∴ΔDEM≌ΔDFN
所以，DE=DF

在三角形ADG和三角形ADF中，
AD=AD ，<GAD=<FAD AG=AF
所以三角形ADG和三角形ADF全等
那么，DG=DF=DE
<AGD=<AFD
因为 DG=DE，所以<EGD=<AED
而<AGD+<EGD=180度
所以，<AGD+<AED=180度
又<AGD=<AFD
所以<AED+<AFD=180度