Question

1^3+2^3+3^3+……+n^3=1/4n^2(n+1)^2,用数学归纳法证明

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Answer 1

当n=1时，左边=1�0�6=1，右边=1�0�5（1+1）�0�5/4=1，左边=右边，所以等式成立；假设当n=k时，等式成立即1�0�6+2�0�6+3�0�6+…+k�0�6=k�0�5(k+1)�0�5/4；当n=k+1时，左边=1�0�6+2�0�6+3�0�6+…+k�0�6+（k+1)�0�6=k�0�5(k+1)�0�5/4+（k+1)�0�6=（k+1)�0�5[k�0�5+4（k+1)]/4=（k+1)�0�5（k+2)�0�5/4=（k+1)�0�5[(k+1)+1]�0�5/4，右边=（k+1)�0�5[(k+1)+1]�0�5/4，所以当n=k+1时，等式成立；所以综上所述，等式成立。

Answer 2

一般方法可以证明但是相当繁琐
证明如下:当n=1时，左边=1^3=1；右边=1/4n^2(n+1)^2=1/4*1^2(1+1)^2=1于是就有左边=1^3=1=右边=1/4n^2(n+1)^2=1/4*1^2(1+1)^2=1；当n=2时，左边=1^3+2^3=9；右边=1/4n^2(n+1)^2=1/4*2^2(2+1)^2=9；于是就有左边=1^3+2^3=9=右边=1/4*2^2(2+1)^2=9；当n=2时，左边=1^3+2^3+3^3=36；右边=1/4n^2(n+1)^2=1/4*3^2(3+1)^2=36；于是就有左边=1^3+2^3+3^3=36=右边=1/4*3^2(3+1)^2=36；假设n=k时，命题成立，那么就有1^3+2^3+3^3+……+k^3=1/4k^2(k+1)^2…………………………（n*）当n=k+1时就有，n+1相=1/4k^2(k+1)^2+（k+1）^3=1/4（k+1）^2【(k+1)+1】^2………………（n+1*）（n+1*）相和n*通过整理可以达到形式的一致行，即n＝k+1等式成立
(4)根据数学归纳法，对于n∈N，都有1^3+2^3+3^3+……+n^3=1/4n^2(n+1)^2

Answer 3

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2