Question

求解分段函数

举出几个用分段函数表示的例子。。并说明每个函数的定义域和值域。。。。

Answer 1

求解分段函数的八类问题
　　甘肃张掖二中 彭万坤
　　分段函数作为特殊的函数，是高考数学中的一个难点，同时也是高考必考内容之一。本文就分段函数的有关问题的求解策略进行整理.归纳。
　　所谓“分段函数”，是指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它的理解应注意两点：
　　（1） 分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数；
　　（2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
　　一．求分段函数的函数值
　　求分段函数的函数函数值时，首先应确定自变量在定义域中的范围，然后按相应的对应法则求值。
　　例1.已知函数 求 （a＜0）.(答案为 )
　　例2.已知函数 （n∈N）则f（5）= 。
　　 (答案为8)
　　二．求分段函数的解析式
　　若所求函数的解析式在其定义域内所分区间内的对应法则不同，应分段来求函数的解析式。本类型题多与所给自变量的分类有关。
　　例3．已知奇函数f(x) （x∈R）。当x＞0时，f（x）=x（5-x）。求f（x）在R上的解析式。 (答案为 )
　　例4．若函数f(x)=1-2a-2a�6�1cosx-2(sinx)2的最小值为g(a). 求g(a)的解析式。
　　解析: 由 f(x)=-1-2a-2a�6�1cosx+2(cosx)2 若令cosx=t
　　 则 f(t)=2t2-2at-2a-1. 且 t∈[-1,1]
　　在此属于二次函数定区间动轴问题,利用分类讨论的思想和数形结合的思想求其最小值g(a)的解析式. 有
　　
　　三．分段函数的图象
　　例5.若方程 有四解,
　　则实数k的取值范围是 . 0
　　解析: 如图可得 o　　评析: 若有三解呢? (k=4)； 若有两解呢? (k>4或k=0)
　　四．求分段函数的自变量的值或范围
　　在求分段函数的自变量的值或范围时,根据分类讨论的思想需列方程组或不等式组求解.
　　例6. 在例4的问题中: 若已知g(a)= , 求a的值.
　　解析: 根据题意有 或
　　解得: a=1
　　例7. 已知函数 若f(x0)>1, 则实数x0的取值范围是 .
　　解析: 根据题意有 或 解得:x0>1或x0<-1
　　五．求分段函数的最值
　　求分段函数的最值,可先分别求出各段上的最值,再加以综合比较.求解通常借助其图象.有时要利用 求最值.
　　例8. 已知 , 若f(x)=ax2-2x+1在区间 [1,3] 上的最大值为M(a), 最小值为N(a), 令g(a)=M(a)-N(a).
　　(1).求g(a)的解析式; (2).判断g(a)的单调性,并求g(a)的最小值.
　　解析:(1).∵ ； a∈
　　 ∴
　　(2). g(a)在区间 上单调递减; 在区间 上单调递增.
　　 ∴当 时, g(a)有最小值是 .
　　例8.若不等式 恒成立, 则实数k的取值范围是 .
　　解析: 根据题意得 =2.
　　六．判断分段函数的奇偶性
　　判断分段函数的奇偶性除利用定义外,还可以利用特值法或图象法判断.
　　例9.判断函数 的奇偶性
　　解析: 利用定义时判断应分x>0, x=0, x<0三种情况讨论.
　　例10. 判断函数 (x∈R)的奇偶性
　　解析: 由f(2)=3, f(-2)=7. 故为奇非偶的函数.
　　七．求分段函数的反函数
　　求分段函数的反函数可先分段求取,然后再加以综合.尤其要注意反函数的定义域的确定.
　　例11.求函数 的反函数.
　　解析: ∵ f（x）在R上是单调递减函数,
　　∴ f(x)在R上有反函数
　　所以 所求f(x)的反函数是
　　八．分段函数在不等式证明中的应用
　　例12.设函数f(x)=ax2+bx+c对一切x∈[-1,1],都有 .
　　求证:对一切x∈[-1,1]都有 .
　　解析: 由
　　代入2ax+b中,整理得: 2ax+b=(x+ )f(1)+(x- )f(-1)-2xf(0)
　　∵当x∈[-1,1]时都有 , 则 . .
　　于是:
　　∴对一切x∈[-1,1]都有
　　分段函数本质上是一个函数,但具体求解时又是在各段上看作独立函数求解。