Question

已知函数f(x)=ax^2 -lnx （1）求函数的单调区间与最值（2）当a=1时,函数g(x)=1-(f(x)/x^2),求证：

已知函数f(x)=ax^2 -lnx 求函数的单调区间与最值 当a=1时,函数g(x)=1-(f(x)/x^2),求证：In2/2^4 + In3/3^4 + …+In n/n^4 ＜1/2e（其中e为自然对数的底数）
高三数学

Answer 1

(1)、由lnx看出，f(x)的定义域为(0，正无穷)
对f(x)求导得：f(x)'=2ax-1/x
f(x)'=0，则2ax-1/x=0，即2ax^2=1，
1)..当a=0或a<0，得x无解，f(x)无最值，即f(x)'=-1/x<0，f(x)'=2ax-1/x<0，
即f(x)'<0，f(x)在区间(0，正无穷)上单调递减；
2)..当a>0得x= √(1/2a)，f(x)的最值为：f(√(1/2a))，
由f(x)'<0得2ax<1/x，即x<√(1/2a)，
由f(x)'>0得2ax>1/x，即x>√(1/2a)，
此时f(x)在区间(0，√(1/2a))上单调递减，
在区间(√(1/2a)，正无穷)上单调递增。

Answer 2