Question

二次函数f(x)满足f(x-1)+f(x)=2x^2+4 (1)求f(x)的解析式？

Answer 1

已知f(x)是二次函数，则不妨设f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）
那么，f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c
=ax^2-2ax+a+bx-b+c
=ax^2-(2a-b)x+(a-b+c)
所以，f(x-1)+f(x)=2ax^2-(2a-2b)x+(a-b+2c)=2x^2+4
所以对照系数得到：
2a=2；2a-2b=0；a-b+2c=4
联立解得：a=1，b=1，c=2
所以，f(x)=x^2+x+2

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
则f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c=ax^2+(b-2a)x +a-b+c
所以由f(x-1)+f(x)=2x^2+4，得
2ax^2+2(b-a)x+a-b+2c=2x^2+4
对比系数，得
2a=2，2(b-a)=0，a-b+2c=4
解得 a=1，b=1，c=2
所以 f(x)=x^2 +x +2

Answer 3

既然是二次函数，那就设f（x）=ax²+bx+c
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，f（x-1）=a（x-1）²+b（x-1）+c
f(x+1)+f(x-1)=2ax²+2bx+2a+2c
于是2ax²+2bx+2a+2c=2x^2-4x
2a=2,2b=-4,2a+2c=0
得a=1.b=-2，c=-1
f（x）=x²-2x-1已知f(x)是二次函数，则不妨设f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）
那么，f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c
=ax^2-2ax+a+bx-b+c
=ax^2-(2a-b)x+(a-b+c)
所以，f(x-1)+f(x)=2ax^2-(2a-2b)x+(a-b+2c)=2x^2+4
所以对照系数得到：
2a=2；2a-2b=0；a-b+2c=4
联立解得：a=1，b=1，c=2
所以，f(x)=x^2+x+2