Question

线性代数关于行列式的问题。请问第三个性质和第四个性质应该怎样证明

Answer 1

第3个性质的证明：

1、首先假设两个方阵A、B中有一个不满秩，显然AB也不满秩
（r(AB)<=min(r(A),r(B))
那么|AB|=|A| |B|=0.

2、A、B均满秩
A=P1P2…Pn*E*qm…q2q1（A可以由E经过一系列的行列变换得到）
B=g1g2…gs*E*ht…h2h1
pi、qi、gi、hi均为初等矩阵，E为单位矩阵
|A||B|=|P1P2…Pn*E*qm…q2q1| |g1g2…gs*E*ht…h2h1|
     =|P1P2…Pn| |E| |qm…q2q1| |g1g2…gs| |E| |ht…h2h1|
     =|A| |E| |E| |B|（反复使用公式①）
     =|A| |B|
其中只需证明|Ar|=|A| |r|①（或|rA|）其中r为初等矩阵
这是显然的，因为初等行列变换不改变矩阵行列式的值。

第4个性质的证明：

   

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