Question

求积分∫e^(-x^2)dx,积分上限是+∞，下限是0，求高手解出答案并写出详细过程

希望高手写下详细解题过程

Answer 1

设A=∫[0,+∞]e^(-x^2)dx
那么A^2=(∫[0,+∞]e^(-x^2)dx)^2=∫∫B e^(-(x^2+y^2))dx B是积分区域x∈[0,+∞),y∈[0,+∞)
对于区域C:{x∈[0,R],y∈[0,R]},有D:{x^2+y^2=R^2}≤C≤E:{x^2+y^2=2R^2}
所以lim[R→+∞]∫∫D e^(-(x^2+y^2))dx≤lim[R→+∞]∫∫C e^(-(x^2+y^2))dx≤lim[R→+∞]∫∫E e^(-(x^2+y^2))dx
所以lim[R→+∞](π/4)*[1-e^(-R^2)]≤A^2≤lim[R→+∞](π/4)*[1-e^(-2R^2)]
所以π/4≤A^2≤π/4(夹逼定理),所以A^2=π/4,所以A=根号π/2