Question

用极限的定义证明: 当x趋向于2时，x的平方趋向于4

Answer 1

要 |x^2-4|<ε |x+2||x-2|<ε

不妨设 1<x<3 则 |x+2|<5 

只需 5|x-2|<ε |x-2|<ε/5 令 δ=ε/5

则对任意给定的ε>0，存在 δ=ε/5 

使当 0<|x-2|<δ 时

恒有 |x^2-4|<ε成立 

极限的产生与发展

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。

古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

Answer 2

要 |x^2-4|<ε |x+2||x-2|<ε 不妨设 1<x<3 则 |x+2|<5 只需 5|x-2|<ε |x-2|<ε/5 令 δ=ε/5
则 对任意给定的ε>0, 存在 δ=ε/5 ，使当 0<|x-2|<δ 时 ，恒有 |x^2-4|<ε成立 。
∴lim[x-->2]x^2=4

追问

需要比较1和ε／5的大小，再确定δ

追答

你的意见是对的，那样会更严密。不过一般的ε 都很小，不会大于5，比较1和ε／5的大小也就变得可有可无，想更严密，就把’令 δ=ε/5“‘改为”令 δ=min{ε/5，1｝当然更好。

Answer 3

晕！笔误写成了x^4，现已更正。