Question

已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,求通项公式

a2=a1＋﹙2×1－1﹚
a3=a2＋﹙2×2－1﹚
a4=a3＋﹙2×3－1﹚
。
。
。
an=a﹙n－1﹚＋[2﹙n－1﹚－1]
相加得 an=a1＋∑[2﹙n－1﹚－1]
bn=2n－1为等差数列 根据等差数列求和公式 其前n－1项和
sn－1=∑[2﹙n－1﹚－1]=n²－2n＋1
∴an=a1＋n²－2n＋1
=n²－2n＋2

不明白为什么不可以用公式 an=a1+（n-1)d a1=1 d=2n 来做？ a1=1 d=2n 谢谢！！！

Answer 1

解：∵数列{a[n]}满足a[n
1]=(a[n]
2)/(a[n]
1)
采用不动点法，设：x=(x
2)/(x
1)
x^2=2
解得不动点是：x=±√2
∴(a[n
1]-√2)/(a[n
1]
√2)
={(a[n]
2)/(a[n]
1)-√2}/{(a[n]
2)/(a[n]
1)
√2}
={(a[n]
2)-√2(a[n]
1)}/{(a[n]
2)
√2(a[n]
1)}
={(1-√2)a[n]-(√2-2)}/{(1
√2)a[n]
(√2
2)}
={(1-√2)(a[n]-√2)}/{(1
√2)(a[n]
√2)}
={(1-√2)/(1
√2)}{(a[n]-√2)/(a[n]
√2)}
=(2√2-3){(a[n]-√2)/(a[n]
√2)}
∵a[1]=1
∴(a[1]-√2)/(a[1]
√2)=2√2-3
∴{(a[n]-√2)/(a[n]
√2)}是首项和公比均为2√2-3的等差数列
即：(a[n]-√2)/(a[n]
√2)=(2√2-3)(2√2-3)^(n-1)=(2√2-3)^n
a[n]-√2=a[n](2√2-3)^n
√2(2√2-3)^n
a[n][1-(2√2-3)^n]=√2[1
(2√2-3)^n]
∴{a[n]}的通项公式：a[n]=√2[1
(2√2-3)^n]/[1-(2√2-3)^n]

Answer 2

a(n+1)=an+2n-1
a(n+1)-an = 2n-1
an- a(n-1)= 2n-3
[an-a(n-1) ]+[a(n-1)-a(n-2) ]+...+[a2-a1] = 2n-3 + 2n-5+...+(2(2)-3)
an - a1 = (n-1)^2
an = n^2-2n+2

不明白为什么不可以用公式 an=a1+（n-1)d a1=1 d=2n 来做？ a1=1 d=2n 谢谢！！！

d 是一个常数， 不是一个变数n！！！！！！！！！