Question

线性代数中 行列式等于0的充分必要条件是它的某两行(或列)成比例或者某一刚元素全为0

是否正确，请证明或举出反例

Answer 1

错误。

比如 A=[a1,a2,a1+a2] ，其中a1,a2是两个线性无关的列向量，满足A 的行列式为零。

n阶行列式|A|=0，说明A的秩小于n，也就是A的各行是线性相关的向量组，从而至少有一行是其余向量的线性组合。

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

Answer 2

追问

十分感谢，能不能再证明下1:如果成线性组合那么行列式为零？2:还有这也不是充要条件吧？3;必须是其它所有行或列的线性组合么？再给你加30分，谢谢了

追答