Question

一道高中数学函数最值问题求高手详解

已知函数y=(2^x-a)^2+(2^-x-a)^2的最小值是8，求a

怕高手们看不懂我口述一遍：Y等于括号，2的X次方，减a，括号的平方，加上，括号，2的-x平方，减a，括号的平方。

Answer 1

y=(2^x-a)^2+(2^-x-a)^2
=2^2x+2^-2x-2a2^x-2a2^-x+2a^2
=(2^x+2^-x)^2-2-2a(2^x+2^-x)+2a^2
=[(2^x+2^-x)-a]^2+a^2

可以知道,2^x+2^-x>=2*根号(2^x*2^-x)=2

如果a>=2,
2^x+2^-x=a时,Y有最小值=a^2=8,
a=2倍根号2.

如果a<2,
2^x+2^-x=2时,Y有最小值=(2-a)^2+a^2=8,
2a^2-4a+4=8
a^2-2a-2=0
a=1-根号3.