Question

设a1=a2=1,an+1=an+an－1,n=2,3…令xn=an+1/an,证明数列xn收敛于

设a1=a2=1,an+1=an+an－1,n=2,3…令xn=an+1/an,证明数列xn收敛于1/2（1+√5）

Answer 1

先构造等比数列：
令a<n+1>+A*a<n>=B*(a<n>+A*a<n-1>)，得到a<n+1>=(B-A)*a<n>+A*B*a<n-1>
因此B-A=1且A*B=1
任取一个解：A=-(√5+1)/2，B=-(√5-1)/2
则a<n+1>-1/2(√5+1)*a<n>=(-1/2(√5-1))^n (n>=1)

然后再构造一次等比数列：
令a<n+1>+C*(-1/2(√5-1))^(n+1)=1/2(√5+1)*(a<n>+C*(-1/2(√5-1))^n)，解得C=1/√5
a<n>=(1/√5)*[(1/2(√5+1))^n - (-1/2(√5-1))^n] (n>=1)

最后将x<n>=a<n+1>/a<n>化简：
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此处省略一万步，说多了都是泪。。。
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x<n>=1/2(√5+1) + √5/{[(√5+1)/(1-√5)]^n-1}
由于丨(√5+1)/(1-√5)丨>1，当n无穷大时，后面一项趋近于0，因此x<n>收敛于1/2(√5+1)

追问

虽然因为太麻烦，我最后没看对不对，但还是感激一下辛苦打的数学符号。。。