Question

餐馆里有五位顾客用餐,点了五份不同的菜,结果因为服务员送错菜,只有一位顾客拿对了他点的菜……

餐馆里有五位顾客用餐,点了五份不同的菜,结果因为服务员送错菜,只有一位顾客拿对了他点的菜，问这样只送对一位顾客（这位顾客不是固定的）的菜而送错其他四位顾客的菜的方法有多少种？【答案是45】求方法，具体解答过程（尽量可以不枚举举例之类的）

Answer 1

5*(4A4-1-4C2-4C1*2)=49
只有1个人得到对应的菜，那么这个人选由5个，所以有因子5.
剩下的4个人与4道菜的排列为：4A4=4！=24.
这24种排列中，包含了存在某个顾客拿到对应菜的组合，因此需要减去。
1指，四个人都拿到对应的菜，这种情况只有1个
4C2指，4个人中有2个拿到对应的菜，即4个人中选2个，这种情况有6种
4C1*2指，4个人中有1个人拿到对应的菜，即4个中选1个，但剩下的3个人都拿到别人的菜，会有2种组合，因此，为4C1*2=8
所有：5*（4A4-1-4C2-4C1*2)=5*(24-1-6-8)=45
最烦做排列组合的题了，很容易遗漏某种情况

追问

我之前用筛法公式做的（固定一个顾客是对的，筛剩下四人，最后再乘5），因为全集用的是4^4而不是4！所以算出来的数很大很奇葩……我组合什么的没怎么认真学，一般什么时候用乘法原理什么时候用n的阶乘这种方式算个数？我有点混论……

追答

用个简单的例子说一下吧：
有10个不同的数，同时有5个空格。现在让你从其中选5个数填空。
情况1,10个数可以重复选取，而且空格有编号，这个时候种类就是10^5
情况2,10个数不可以重复选取，而空格有编号，这个时候种类就是排列，10A5
情况3,10个数不可重复选取，而空格没有编号，这个时候就是组合，10C5
情况4,10个数可以重复选取，而空格有编号，这时候，就是5A5。
上面问题中，人对应了空格，菜对应于数。
每道菜只有1份，指数不可以重复选取。4个人，是不同名字的人，所以空格是有编号的。对应了情况2，所以用排列。
而后面我说，4C2的情况，4个人中有2个拿到对应的菜。这个时候，我不用考虑到底是哪2个人，因此我不用知道他的名字，因此，这时的空格是没有编号的，对应情况3，所以用组合。
大概就这4种情况，考试应该够用了。
我不知道我讲清楚了没有

Answer 2

你考虑过换服务员吗

追问

可惜题目不让我改，否则我一定会换的= =+