在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为abc,满足(a+c)/b=(sinA-sinB)/(sinA-sinC),求（a+b）/c的范围。
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2013-10-12 · 知道合伙人教育行家
无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
知道合伙人教育行家
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现在为上海海事大学学生，在学习上有一定的经验，擅长数学。
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解：
利用正弦定理化简已知等式得：
（a+c）/b=(a−b)/(a−c)，
化简得a^2+b^2-ab=c^2，
即a^2+b^2-c^2=ab，
∴cosC=(a^2+b^2−c^2)/2ab=1/2，
∵C为三角形的内角，
∴C=π/3
(a+b)/c
=(sinA+sinB)/sinC
=2/√3[sinA+sin（2π/3-A）]
=2sin（A+π/6），
∵A∈（0，2π/3），
∴A+π/6∈（π/6，5π/6），
∴sin（A+π/6）∈（1/2，1]，
则(a+b)/c的取值范围是（1，2]．
利用正弦定理化简已知等式得：
（a+c）/b=(a−b)/(a−c)，
化简得a^2+b^2-ab=c^2，
即a^2+b^2-c^2=ab，
∴cosC=(a^2+b^2−c^2)/2ab=1/2，
∵C为三角形的内角，
∴C=π/3
(a+b)/c
=(sinA+sinB)/sinC
=2/√3[sinA+sin（2π/3-A）]
=2sin（A+π/6），
∵A∈（0，2π/3），
∴A+π/6∈（π/6，5π/6），
∴sin（A+π/6）∈（1/2，1]，
则(a+b)/c的取值范围是（1，2]．
追问
2/√3[sinA+sin（2π/3-A）]
=2sin（A+π/6）中的详细过程
追答
2/√3[sinA+sin（2π/3-A）]
=2/√3(sinA+sin2π/3cosA-cos2π/3sinA)
=2/√3(sinA+√3/2cosA+1/2*sinA）
=2/√3(3/2sinA+√3/2cosA)
=2/√3*√3(√3/2sinA+1/2cosA)
=2sin（A+π/6）
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