Question

已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立

已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)·f(y)-f(x)-f(y)+2成立 ，且x＞0时，f(x)＞2
(1)求f(0)的值，并证明：当x＜0时，1＜f(x)＜2
(2)判断f(x)的单调性并加以证明
(3)若函数g(x)=|f(x)-k|在(负无穷，0)上递减，求实数k的取值范围

Answer 1

（1）令x,y=0,设f(0)=t，则有方程t=t²-2t+2.解得t=1或t=2又∵x＞0时f(x)＞2，所以f(0)=2.呃然后那个证明先空着吧……
(2)设x1＞x2.有f(x1+x2-x2)=f(x1-x2)f(x2)-f(x1)-f(x2-x2)+2.(这步好像有问题，不过想不出其他办法了，先这样吧……)，因为f(0)=2.化简有2f(x1)/f(x2)=f(x1-x2).因为x1-x2＞0.所以f(x1-x2)＞2，即2f(x1)/f(x2)＞2，要使其满足，则f(x1)/f(x2)＞1，即x1，x2＞0时f(x1)＞f(x2),为单调增函数，x1,x2＜0时为单调减函数

Answer 2

f(x+0)=f(x)*f(0）-f（x）-f（0）+2
f（0+0）=f(0)*f(0)-f(0)-f(0)+2
f（0）=2或1