Question

高一数字。已知a∈R，函数f(x)=x|x-a|

求函数y=f(x)在区间［1,2］上的最小值。学渣想问问数学霸们，为何a>2时要考虑3的情况。´▽`
设a≠0,函数f(x)在f(m,n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m,n的取值范围T^T不懂啊求详解亲爱的数学霸们！

Answer 1

(1)

将f(x)化为分段函数：

f(x)=x^2-ax，x≥a（开口向上，对称轴x=a/2）

f(x)=-x^2+ax，x<a（开口向下，对称轴x=a/2）

注意到f(a)=0（即x=a为f(x)的一个零点）

 

当a≤0时，f(x)在区间[1，2]上为增函数

此时f(x)min=f(1)=1-a

 

当a>0时，f(x)在区间[1，2]上的最小值与对称轴x=a/2、零点x=a的位置相关，讨论如下：

若0<a≤1（对称轴x=a/2、零点x=a都在区间[1，2]的左侧），f(x)在区间[1，2]上为增函数

    此时f(x)min=f(1)=1-a

若1<a≤2（对称轴x=a/2在区间左侧、零点x=a在区间上），f(x)在区间[1，2]上不单调

    此时f(x)min=f(a)=0

若2<a≤4（对称轴x=a/2在区间上、零点x=a在区间右侧），f(x)在区间[1，2]上不单调

    此时f(x)min=min{f(1)，f(2)}=min{a-1，2a-4}

    令a-1=2a-4，则a=3

    则当2<a≤3时，f(x)min=2a-4

    而当3<a≤4时，f(x)min=a-1

若a>4（对称轴x=a/2、零点x=a都在区间右侧），f(x)在区间[1，2]上为增函数

    此时f(x)min=f(1)=a-1

 

综上知：

当a≤1时，f(x)min=1-a

当1<a≤2时，f(x)min=0

当2<a≤3时，f(x)min=2a-4

当a>3时，f(x)min=a-1

 

（2）因定义区间(m，n)为开区间，端点取不到最值

要使f(x)在区间(m，n)上既有最大值又有最小值

则必须保证对称轴x=a/2和零点x=a同时在区间上

即有m<a/2<n，且m<a<n

若a<0时，m<a且n>a/2

若a>0时，m<a/2且n>a