Question

立体几何问题

如图在透明塑料做成的长方体容器中灌进一些水，固定容器的一边将其倾倒，随着容器的倾斜度不同，水的各个表面的图形的形状和大小也不同．试证明下面这些图形的形状和大小之间所存在的各种规律：

（1）水面是矩形．（2）四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形．（3）水面面积的大小是变化的，如图2所示，倾斜度越大（即α越小），水面的面积越大．（4）形状为直角梯形（如ABDC）的两个侧面的面积是不变的；这两个直角梯形全等．（5）侧面积不变．（6）在侧面中，两组对面的面积之和相等．（7）形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值．在图中，我们可以得到（8）a+b为定值．（9）如果长方体的倾斜角为α，则水面与底面所成的角为90°-α．（10）底面的面积=水面的面积×cos（90°-α）=水面的面积×sinα．当倾斜度增大，点A在BD上时，有最大值．（11）A与B重合时b=2h（h为原来水面的高度）．（12）若容器的高度PD＜2h，当A与B重合时，水将溢出．（13）若A在BD的内部，△ADC的面积为定值，即bc为定值．

以上命题能证明几个就证明几个，并且b、c图中未标出，猜出来的人请说一下。

Answer 1

严格的证明我就不给你写了，就给你写主要的部分吧。
1.因为A1B1垂直于B1C1，所以AB垂直于BC(上下面全等)。又因为AB平行于A1B1，A1B1垂直于A1C，所以AB垂直于A1C，所以AB垂直于A1BC内两条相交直线，所以AB垂直于A1BC。
2.由题意，因为AB垂直于BC，所以AB=3，BC=4，AC=5，三角形A1B1C1中的边与三角形ABC中的边对应相等。过A1向ABC作垂线，交ABC于O。因为AB垂直于面A1BC，所以AB垂直于A1B，因为AA1=5，AB=3，所以A1B=4，因为A1B与平面ABC成60度角，所以，A1O=2根号3。因为ABC面积=6，所以三棱柱的体积=6*2根号3=12根号3。在三棱锥A-BCA1中，因为AB垂直于A1BC，(设A1BC的面积=S)所以该三棱锥的体积=(AB*S)/3=三棱柱的体积/3，将数据带入，解出S=4根号3。又因为在三角形A1BC中:A1B=BC=4，其面积=4根号3，所以A1C=4(解三角形的知识，这个不用我说了吧)。这时，再过A1作A1D垂直于AC。在三角形A1AC中，可解得A1D=(4根号21)/5。(所求二面角的平面角=角A1DO)所以二面角=arcsin[(5根号7)/14]
(这个角在0到90度之间)
3.由上一问的结论，易得:ABB1A1的面积=3*4=12(ABB1A1是由两个直角三角形拼起来的，注意到这个，就好算了)。设求点C1到侧面ABB1A1的距离=h。那么有12*h=三棱柱的体积=12根号3，所以h=根号3，即为所求。
这个是我个人的解答，不知道对不对，因为立体几何这东西稍不仔细，就很容易出错，但是我觉得重要的思路都写在上面了，如果我答案错了，你可以按照我的思路自己做一遍。其实难点就是第二问。求二面角最常用的就是这道题中我用的找射影。射影的高，由题中给的60°的线面角很容易球的，就是还差一个斜边，于是我们发现，在求这个斜边上唯一的问题就是A1C的值。因为A1C是在ABCA1这个棱锥里，而关于这个棱锥，第一问已经有一个垂直的结论，那么我们就自然而然的想到了用等体积的方法解出这个边长，于是，这道题目就解开了。
希望我写的东西对你有帮助。