Question

求解一道数学题，要详细过程，谢谢！

已知函数f(x)在定义域x属于正实数上是增函数，且满足f(x.y)=f(x)+f(y),(x,y属于正实数），1，求函数f(x）的值域？2，若f(2)=1,f（x)图像上的三点A,B,C的横坐标分别为；a,a+2,a+4(a>0),且三角形ABC的面积小于1，求实数a的取值范围？

Answer 1

(1).∵f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1),
∴f(1)=0.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)∈(-∞,+∞).
(2)连接AB,BC,AC,并过A,B,C向X轴作垂直线,垂足依次为A1,B1,C1.则
A1B1=(a+2)-a=2,B1C1=(a+4)-(a+2)=2,A1C1=(a+4)-a=4.于是
S△ABC=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S梯形AA1C1C
=(AA1+BB1)A1B1/2+(BB1+CC1)B1C1/2-(AA1+CC1)A1C1/2
=[f(a)+f(a+2)]+[f(a+2)+f(a+4)]-2[f(a)+f(a+4)]
=2f(a+2)-f(a)-f(a+4)<1........(1)
∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴f（x/y *y）=f(x/y)+f(y)
f(x)=f(x/y)+f(y)
∴f(x/y)=f(x)-f(y).
f(x*x)=f(x)+f(x)=2f(x).
因为f(2)=1.回到(1)式
∴有2f(a+2)-f(a)-f(a+4)=f[(a+2)^2/a(a+4)]<f(2).
又∵f(x)是增函数,∴有(a+2)^2;/a(a+4)<2.
即[(a+2)^2-2a(a+4)]/a(a+4)<0
即-(a^2+4a-4)/a(a+4)<0.也就是(a^2+4a-4)/a(a+4)>0.
[(a+2)^2-8]/a(a+4)>0.
(a+2+2√2)(a+2-2√2)/a(a+4)>0
∵a>0,
∴a>2(√2-1)

Answer 2

f(3)=1
于是f(3)+f(a-8)<2
变成
f(3)+f(a-8)<f(3)+f(3)
就是f(a-8）<f(3)
又函数f(x)在定义域(0，正无穷)上为增函数
于是0<a-8<3
从而解得
8<a<11

Answer 3

我觉得f(x)应该加上它是连续函数的条件。

追问

原题就是这样的，没有改动过。

追答

原题在哪，能给我看看不

追问

原题是图片形式的，我不会转发图片。

追答

我再给你想想。。