Question

高等数学同济版 16页例题疑问

设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).

书上证明过程：假若g(x)、h(x)存在，使得f(x)=g(x)+h(x)，（1），
且g(-x)=g(x)，h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)，（2）

利用(1)、（2）式，可以做出g(x)和h(x)，这个启发我们做如下证明：
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则 g(x)+h(x)=f(x)，
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)，
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x).
证毕.
以上是书上的原文。
我的问题“则”字后面的结论是否是用g(x)=[f(x)+f(-x)]/2与h(x)=[f(x)-f(-x)]/2相加得出？而g(x)=[f(x)+f(-x)]/2由式子（1）+式子（2）得到，h(x)=[f(x)-f(-x)]/2由式子（1）-式子（2）得到，那岂不是“则”字后面的结论是用（1）+（2）+（1）-（2）=（1）+（1）得出？相当于在假设基础上乘以2，就得出结论了。真心看不懂！！！！！

Answer 1

第五行“利用(1)、（2）式，可以做出。。。。做如下证明”以前都是思维过程，是告诉你下面

的证明方式是怎么想出来的，如果懂了，就可以不用管它了。真正的证明是下面的文字：
设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2............①
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2............②
①+②即得 g(x)+h(x)=f(x)；
其中：
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)，故g(x)是偶函数；
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x)，故h(x)是奇函数。

追问

我好像有一点点明白了 前面不是解题过程只是分析
但是您写的式子①，②又是怎么来的呢？ 还不是分别由由式子（1）+式子（2），式子（1）-式子（2）得到，那①+②实际上不仍然是（1）+（2）+（1）-（2）=（1）+（1）？？？ 所以我还是有点糊涂。。。谢谢