Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0),

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根。
（1）求f（x）的解析式
（2）当x属于【1，2】，求f（x）的值域
（3）若F（x）=f（x）-f（-x），试判断F（x）的奇偶性，并证明你的结论

Answer 1

f(1+x)=f(1-x)
a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x)
ax^2+2ax+a+b+bx=ax^2-2ax+a+b-bx
4ax+2bx=0
(2a+b)x=0
2a=-b ①
f(x)=x
化为ax^2+(b-1)x=0
因为有等根，所以△=(b-1)^2=0 ②
由②得:b=1
带入①得a=-1/2
所以f(x)=(-1/2)x^2+x
(2)
对称轴是x=1,开口向下

∴x∈[1,2]
x=1有最大值
f(1)=-1/2+1=1/2
x=2有最小值
f(2）=-2+2=0
值域是[0,1/2]
(3)
F(x)=f(x)-f(-x)=(-1/2)x^2+x-[(-1/2)x^2-x]
=2x
这是奇函数
证明
F(x)=2x
f(-x)=2(-x)=-2x=-F(x)
∴是奇函数
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