Question

xn为单调数列 lim（x1+x2+……xn）/n=a，求证limxn=a

Answer 1

不妨设xn单调增（否则考虑-xn)，则xn有下界-M，又不妨设xn>0，（否则考虑xn+M）。

由单调性，(x1＋x2 + ... + xn)/n <= (x1 + x2 + ... + xn + x(n+1))/(n+1)

所以(x1＋x2 + ... + xn)/n递增，(x1＋x2 + ... + xn)/n < a

所以xn < (x(n+1) + ... + x(n+m))/m < (x1 + x2 + ... + x(n+m)) / (m+n) * (m+n)/m < a*(m+n)/m，令m->无穷，得xn <= a

另一方面(x1＋x2 + ... + xn)/n < xn ，结合xn<a知

(x1＋x2 + ... + xn)/n < xn <＝a

两边取极限，由夹逼原理知lim xn = a

单调数列

是一类重要的数列。单调数列有:（递）增数列，（递）减数列，严格增数列，严格减数列。也有人把它们分别称作不减、不增、增、减数列。严格增数列与严格减数列合称严格单调数列。单调数列也就是定义在自然数集上的单调函数。上述定义与把单调函数的定义用于数列所得到的结果是等价的。

Answer 2

不妨设xn单调增（否则考虑-xn)，则xn有下界-M，又不妨设xn>0，（否则考虑xn+M）。

由单调性，
(x1＋x2 + ... + xn)/n <= (x1 + x2 + ... + xn + x(n+1))/(n+1)
所以(x1＋x2 + ... + xn)/n递增，(x1＋x2 + ... + xn)/n < a

所以xn < (x(n+1) + ... + x(n+m))/m < (x1 + x2 + ... + x(n+m)) / (m+n) * (m+n)/m < a*(m+n)/m，令m->无穷，得xn <= a

另一方面(x1＋x2 + ... + xn)/n < xn ，结合xn<a知
(x1＋x2 + ... + xn)/n < xn <＝a
两边取极限，由夹逼原理知lim xn = a