Question

已知函数f(x)在定义域为(0, 正无穷)且fx为增函数,f(xy)=f(x)+f(y),求证f(x/y)=f(x)-f(y)

已知函数f(x)在定义域为(0, 正无穷)且fx为增函数,f(xy)=f(x)+f(y),求证f(x/y)=f(x)-f(y)

Answer 1

令x=y=1
则f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0

令y=1/x
则xy=1
f(1)=f(x)+f(1/x)
所以f(1/x)=-f(x)

令y=1/a
则f(x/a)=f(x)+f(1/a)
f(1/x)=-f(x)
所以f(1/a)=-f(a)
即f(x/a)=f(x)-f(a)
所以
f(x/y)=f(x)-f(y)