Question

已知函数y=fx(x∈R)对任意x,y都有f(x+y)=fx+fy

（1）试判断函数y=fx（x∈R）的奇偶性
（2）当x＞0时有fx＞0，证明fx在R上是单调增函数

Answer 1

设函数fx为y=ax+b
且fx+fy=f(x+y)
则a（x+y)+b=（ax+b）+（ay+b）
所以b=0
又因为f1=-2/3
所以函数式为y=-2/3x
得出函数在[-3,3]区间为减函数，当x=-3时有最大值f(-3)=2
最小值为f（3）=-2

Answer 2

设函数fx为y=ax+b
且fx+fy=f(x+y)
则a（x+y)+b=（ax+b）+（ay+b）
所以b=0
又因为f1=-2/3
所以函数式为y=-2/3x
得出函数在[-3,3]区间为减函数，当x=-3时有最大值f(-3)=2
最小值为f（3）=-2

Answer 3

(1).f(0+0)=f(0)+f(0),f(0)=0,f(x-x)=f(x)+f(-x)=0 奇函数
(2).令a,b＞0 f(a+b)=f(a)+f(b),f(a+b)-f(b)=f(a)＞0（a+b＞b）