Question

设A为m*n矩阵, 则AX=0有非零解的充要条件是

设A为m*n矩阵, 则AX=0有非零解的充要条件是A的列向量组线性相关
为什么不是 A的行向量组线性相关？

Answer 1

也就是说A为方阵,理由,相当于以下说法是等价的,随便挑一个.
1、矩阵是满秩的
2、矩阵是可逆的
3、矩阵是非退化的（行列式≠0）
4、矩阵可表示为一系列初等矩阵的乘积
5、矩阵可以通过一系列初等变换化为单位矩阵
6、矩阵等价于单位矩阵
7、矩阵的标准型是单位矩阵等等……第二种：m>n,且A的秩为n
因为行多,可以通过初等行变换,变为梯形矩阵后,第n行以下全为0,是多余的.
然后又回到第一种情况的讨论了.
所以,题目的充分必要条件是：（第一种 或 第二种的并集）

Answer 2

把A写成列向量的形式设A=（α1，α2，……，αn）则AX=α1·x1+α2·x2+……+αn·xn=0它有非0解即存在不全为0的数x1，x2，……，xn使上式成立所以α1，α2，……，αn线性相关

Answer 3

AX=0有非零解的充要条件是A存在逆矩阵