Question

一个关于均值不等式的数学题，不知道怎么做

已知a>0,b>0.求1／a+1／ b+2√ab的最小值

Answer 1

楼主你好！很高兴为你解答：
连续应用两次均值不等式即可
因为a>0，b>0
所以1/a>0，1/b>0
所以1/a+1/b>=2√(1/ab)，当且仅当a=b时取到等号
所以1/a+1/b+2√ab>=2√(1/ab) + 2√ab>=2*2√[√(1/ab) * √ab]=4
当且仅当√(1/ab) =√ab时后一个等号成立，这时有a=b=1
这样解说希望楼主能理解，不清楚的话欢迎追问交流，希望能帮到楼主~

追问

但当在用 “1/a+1/b>=2√(1/ab)，当且仅当a=b时取到等号”时必须满足1/a+1/b相乘或相加是定值

追答

楼主可能误解了定理的意思了~
对于任意正整数，即任意a>0，b>0
a+b>=2√ab都成立，只是想要取到等号的话必须还要a=b
这里2√ab是根据a，b算出来的，我们应用均值不等式的目的是为了得到定值没错，但并不是说，这个式子得不到定值，那么均值不等式就不能用了，楼主要注意哈~
课本上给出的也是用字母的表达式，就是a>0，b>0时，a+b>=2√ab。
楼主的想法是一种思路，就是说看到题目中a+b相乘或相加是定值的情况下我们要考虑用均值不等式解题，不是说均值不等式只能在这种情况下成立！楼主要区分清楚~