Question

数学分析一个定理的证明，高分求解！急！！

如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式, 那么p(x) 分别是f'(x),f''(x)...f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,...,1 重因式, 但不是f(k)（x） 的因式.
一个推论，多谢各位了。
解答出来会追加赏金的！
高等代数的一个定理，不好意思写错了。。

Answer 1

p（x）是f（x）的k重因式，设f(x)=p(x)^k q(x)，其中q (x)不能被p（x）整除，那么有
f'(x)=p(x)^(k-1)[kp'(x)q(x)+p(x)q'(x)]， 显然，p(x)^(k-1)可以整除f'(x)，
而p(x) 不能整除kp'(x)q(x)+p(x)q'(x)， 事实上，如果p（x）可以整除kp'(x)q(x)+p(x)q'(x)，那么
p(x)可以整除p'(x)q(x)，由于p（x）是不可约的，所以p(x)可以整除p’（x）或q（x），由假设，p（x）不能整除q（x），而p（x）的次数大于p‘(x)（deg p(x)>deg p'(x)），p(x)不能整除p'(x).
矛盾！ 所以p（x）不能整除kp'(x)q(x)+p(x)q'(x)，因而p（x）是f'(x)的k-1次重因式。

然后反复应用上面的结果就可以推出，p(x) 是f''(x)的k-2重因式……

Answer 2

http://tieba.baidu.com/p/2199195487
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