Question

高一数学题（要有详细过程，在线等！！

已知f（x）是R上的偶函数，且f（2）=0，g（x）是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g（x）=f（x-1），求f（2010）的值。

Answer 1

解：∵g（x）=f（x-1），
∴f（x）=g（x+1）.
∵f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）.
∴f（x）=f（-x）=g（-x+1）=-g（x-1）=-f（x-2）=-f（2-x）=-g（3-x）=g（x-3）=f（x-4）
即f（x+4）=f（x）.
∴f（x）为周期函数，其周期T=4.
∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=0.

祝你学习进步~

追问

f（x）=f（-x）=g（-x+1）=-g（x-1）=-f（x-2）=-f（2-x）=-g（3-x）=g（x-3）=f（x-4）
即f（x+4）=f（x）.这几步是怎么出来的能具体解释一下吗？我数学不太好，看不明白额。

追答

f（x）=f（-x）【因为f（x）是R上的偶函数，即f（-x）=f（x）】
f（-x）=g（-x+1)【因为f（x）=g（x+1）.，可将x用-x代替】
g（-x+1）=-g（x-1）【因为g（x）是R上的奇函数，即g（-x）=-g（x），将x用x-1】
-g（x-1）=-f（x-2）【因为g（x）=f（x-1），可将x用x-1代替】
-f（x-2）=-f（2-x）【因为f(x)是R上的偶函数,即f(-x)=f（x）,即-f（-x）=-f（x）,可将x用2-x代替】
-f（2-x）=-g（3-x）【因为f（x）=g（x+1）.，可将x用2-x代替】
-g（3-x）=g（x-3）【因为g(x)是R上的奇函数,即g(-x)=-g（x）,即-g(x)=g(-x),可将x用3-x代替】
g（x-3）=f（x-4）【因为g（x）=f（x-1），可将x用x-3代替】
所以f（x）=f（x-4）
所以f（x+4）=f（x）【因为f（x）=f（x-4），可将x用x+4代替】