Question

加速度及位移公式的拓展推导，详细点 谢谢

Answer 1

一、速度 　　1、公式：
　　a= vt=v0+at
　　反映出做匀变速直线运动的物体的瞬时速度如何随时间而变化
　　若v0=0，则：vt=at
　　2、图象（速度-时间图象）,见图1。

　　（1）vt=v0+at：v0、a为定值
　　t：自变量　 vt：因变量
　　从表达式可知，vt是t的一次函数
　　（2）截距：v0；斜率：a

　　图2中， I 和 II 两个运动的初速度不同，其中 I 的初速度为0， II 的初速度不为零，但是两个运动的加速度相同（a1=a2）。运动 II I的初速度也不为0，但是加速度大于 I 和 II 。
　　二、位移
　　1、公式：
　　S=v0t+at2
　　反映出做匀变速直线运动的物体的位移如何随时间而变化。
　　若v0=0，则：S=at2
　　2、图象
　　在匀速直线运动中，可用v-t图线与横轴所包围的面积，求出物体在一段时间内位移的大小。此种方法对匀变速直线运动同样适用。图1中阴影部分面积即为该运动经过时间t1的位移。根据几何关系也可以得到位移公式的证明。
　　例1、物体以v0冲上斜面（设斜面无限长），到最高点速度为零，如图为物体的运动图象，据图象：
　　（1）物体做什么运动？
　　（2）若v0=10m/s，经t1=4s速度减为0，求物体的加速度a=?　 此过程发生的位移S=?
　　（3）再回到出发点需要多长时间？

　　分析：
　　（1）
　　从0—t1物体做匀减速到零，单看回去的运动（t1～t2）是匀加速运动。从总体来看，这样的运动应该叫匀变速运动。
　　（2）
　　由公式a= ，可以求出a=－2.5m/s2
　　S=v0t+at2=10×4+ (-2.5)×42＝20m
　　（3）
　　物体再回到原位置，位移S=0，
　　S=0 v0t+ at2=0t=8s。通过分析，“8s”是符合题意的。
　　从图象来看，回到原点S=0，即时间轴上下两部分面积相等。从图中来看，两个三角形全等。也可以看出应该是8s。
　　例2、如图所示，分析：
　　（1）两个质点分别做什么运动？
　　（2）I、II质点运动的加速度分别多大？
　　（3）前4s两质点的位移分别为多大？

　　解析：
　　（1）v0=0的匀加速直线运动
　　（2）aI=5m/s2，aII=2.5m/s2
　　（3）SI=40m，SII=20m
　　注意：
　　1．aI比aII大一倍可以从两方面理解：
　　Ⅰ：相同的速度变化所用的时间差一半
　　Ⅱ：相同的时间内速度变化差一半
　　2．从图象看，位移为两个三角形的面积。
　　例3、一汽车上坡时以v=20m/s，遇到障碍刹车，加速度的大小为4m/s2，求汽车在6s内通过的位移为多少？（汽车距刹车点多远）
　　错解：
　　S=v0t+ at2=20×6+×（-4）×36＝48m
　　注意：
　　以上解法是错误的。原因是刹车过程的最后状态是停下来，即：vt＝0。这类题在解的过程中，应首先判断在所给时间内，物体是否停下来。如果物体没有停下来，所求过程为匀变速直线运动，直接代公式求解；如果已经停下来了，过程应该分为两部分：匀变速过程（停下来以前）和静止过程（停下来以后），整个过程不再是匀变速直线运动。这种情况下，直接代公式就不行了。但是前一个过程还是匀变速，可以代公式求前一个过程的位移（注意这时所代时间不再是全部时间而是匀变速过程的时间）。我们又知道，后一个过程的位移为0，所以前一个过程的位移与整个过程的位移相同。
　　正确解法如下：
　　解：
　　a= t=
　　即：第5s末汽车停止运动
　　所以：S=v0t+at2=20×5+ ×（-4）×25=50（m）
　　说明：
　　关键在于隐含条件vt＝0。可以参考图象理解。在第6秒，质点是静止的，而不是保持前面的加速度的运动（虚线）。

　　三、推论：
　　1、vt2-v02=2as
　　证明：
　　由 ，代入S=v0t+at2
　　有 vt2-v02=2as
　　2、匀变速直线运动，经初位置时的速度为v0，经末位置时的速度为vt，对所研究的一段时间而言
　　（1）平均速度：
　　vt=v0+at 代入S=v0t+ at2
　　有：S=v0t+
　　可得：
　　（2）分成前一半时间和后一半时间，中间时刻的即时速度
　　设C点为从A到B所用时间一半时的物体的位置，则：

　　 　
　　即：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度在数值上等于其中间时刻的即时速度。
　　例4、一辆正在匀加速行驶的汽车在5s内先后经过路旁两个相距50m的电线杆。它经过第2根时的速度为15m/s，求它经过第1根电线杆的速度及行驶的加速度。
　　解：
　　方法一：基本公式
　　设物体经过第1根电线杆时的速度为v1，加速度为a，由匀变速直线运动的规律可得：
　　v2=v1+at15=v1+5a　 　　　　①
　　S=v1t+ at250=5v1+ a×52　 ②
　　二式联立，可解得：v1=5m/s，a=2m/s2
　　方法二：平均速度
　　
　　由 可得：
　　例5、一辆小车做匀加速直线运动，历时5s。已知小车前3s内的位移是7.2m，后3s内的位移为16.8m，试求小车的加速度及5s内的位移。
　　解：
　　方法一：基本公式。
　　设物体运动的初速度为v0，加速度为a，则由位移公式有：
　　S1=v0t1+ at12 7.2=3v0+a×32　　 ①
　　对后3s，v1=v0+at=v0+3a　　　　 　　　　　②
　　S2=v1t2+ at2216.8=3v1+ a×32　　③
　　三式联立可求得：v0=0　 a=1.6m/s2　
　　∴由S=at2有S = ×1.6×52=20（m）
　　方法二：据中间时刻的即时速度等于一段时间内的平均速度有：
　　v1..5=
　　v3. 5=
　　由加速度的定义可知：
　　同理可求v0=0，s=20m。
　　3、中点位置的即时速度

　　设C点为从A到B所通过的位移一半时物体的位置
　　已知：v0、vt求：
　　
　　例6、如图所示，物体以4m/s的速度自斜面底端A点滑上光滑斜面，途经斜面中点C，到达斜面最高点B。已知vA:vC=4:3，从C到B点历时（3-）s，试求：
　　（1）到达斜面最高点的速度；
　　（2）斜面的长度

　　解：
　　由已知可知，vA:vC=4:3vC=3m/s
　　∵C点为AB中点，∴vc=
　　vA2+vB2=2vC2 42+vB2=2×32
　　 vB=m/s
　　由S=
　　斜面长度S=2SBC=7m
　　4、初速度为零的匀加速直线运动，将时间t等分
　　（1）1s内、2s内、3s内、……ns内物体的位移之比S1:S2:S3:…:Sn=1:4:9:…:n2
　　（2）第1s内、第2s内、第3s内、…第ns内的位移之比SI:SII:SIII:…:SN=1:3:5:…:(2n-1)
　　（3）第2s末、第2s末、第3s末、……第ns末的瞬时速度之比v1:v2:v3:…:vn=1:2:3:…:n
　　看下图可以帮助理解。也可以利用公式证明。
　
　　注意：
　　（1）如何描述这几个规律
　　（2）时间间隔可扩展到任意t秒
　　5、做匀变速直线运动的物体，在任意相邻相等时间间隔内的位移差是个恒量，△S=at2　匀变速直线运动：SI=S1　 SII=S2-S1　 SIII=S3-S2…

　　SI=S1=v0t+at2　　SII=S2-S1=v0(2t)+ a(2t)2-(v0t+ at2)=v0t+ at2
　　SIII=S3-S2=v0(3t)+ a(3t)2-v0(2t)- a(2t2)=v0t+at2…
　　△S=SII-SI=SIII-SII=…=at2
　　做匀变速直线运动的物体，任意两个相等时间间隔M、N　 SM-SN=(M-N)at2
　　例7、一物体正在做匀变速直线运动，在第1s内和第3s内通过的路程分别为2m和4m，求：
　　（1）第2秒末的速度v2
　　（2）3s内的平均速度？
　　解析：
　　（1）
　　做匀变速直线运动的物体，任意两个相等时间间隔M、N
　　SM-SN=(M-N)at2
　　S3-S1=(3-1)×a×12=4-2
　　a=1m/s2
　　因为 S1＝2m　 所以 v0. 5= S1/1s＝2m/s
　　又因为a=1m/s2，所以v0=1.5m/s，则v2=3.5m/s
　　（2）
　　同理知v3=4.5m/s，所以 ＝3m/s。